集合论的概念有哪些?
集合论的几个概念：映射、满射、子集的集。
设 X 和 Y 为两个集。所谓一个从 X 到 Y 的映射 f: X → Y 是指一个法则，它对 X 中的每一 x，指定 Y 中唯一一个元素。这个为 x 指定的唯一元素称作 x 在 f 下的像，记为 f (x)。称 X 为映射的定义域，Y 为映射的值域。如果值域 Y 中的每一个元素都是定义域 X 中某个元素的像，就称 f 是一个满射。
我们还需要一个概念：子集所成的集。设 X 为一个集。用 P (X) 表示集 X 的所有子集所成的集。
什么是康托定理?
康托定理对任何集 X，不存在从 X 到 P (X) 的满射。
我们来证明，不存在 z∈X，使得 f (z)=C。
为此用反证法。假设存在 z∈X，使得 f (z)=C。那么，
若 z∉C，则 z∈f (z)。但 f (z)=C，故 z∈C。矛盾。
若 z∈C，则 z∉f (z)。但 f (z)=C，故 z∉C。也矛盾。
这说明不存在 z∈X，使得 f (z)=C。故 f 不是满射，康托定理得证。
康托定理是集合论最早，也最重要的定理之一。这个定理之优美，大概可以代表人类的智慧。这个定理一般放在大学数学系的三年级课程《实变函数论》中讲，但它几乎不用什么基础知识，是中学生可以理解、欣赏的。康托定理的陈述一般为，“不存在从 X 到 P (X) 的一一对应”，但实际上不存在满射。不存在满射当然就更不存在一一对应。
关键词： 康托定理 实变函数论 大学数学系 基础知识
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